常数变易法(微分方程求解)
1. 常数变易法求解一阶线性微分方程过程 对于一阶线性微分方程: $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x) \tag{1} $$ 如果$Q(x)=0$则方程为齐次, $Q(x)\ne0$则方程为非齐次. 而常数变易法的求解就是先求出齐次方程的通解 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0 \tag{2} $$ 该齐次方程的通解为$y=Ce^{-\int{P(x)\mathrm{d}x}}$ $(C=\pm e^{C_1})$ 然后使用$u(x)$(以后简写为$u$)替换该通解中的常数$C$, 即便换为: $$ y=ue^{-\int{P(x)\mathrm{d}x}} \tag{3} $$ 然后, 将(3)代入(1)中, 得: $$ u^{\prime}e^{-\int{P(x)}\mathrm{d}x}=Q(x) \tag{4} $$ 通过"分离变量"即可求出$u$: $$ u=\int{Q(x)e^{\int{P(x)\mathrm{d}x}}\mathrm{d}x}+C \tag{5} $$ 将(5)在带回到(3)中即可求出$y$: $$ y=Ce^{-\int{P(x)\mathrm{d}x}}+e^{-\int{P(x)\mathrm{d}x}}\int{Q(x)e^{\int{P(x)\mathrm{d}x}}\mathrm{d}x} $$ 于是, 便得到了(1)的通解, 观察可以发现, 前面为(1)对应的齐次方程的通解, 后面为当C=0是(1)的特解, 因此得到结论: 一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和. 但是问题就是 为什么可以使用非齐次方程对应的齐次方程的通解来进行求解?, 上面的方法一气呵成只是告诉了我们应该这样做, 但我们却不知道为什么这么做. 但我学的很蒙, 于是进行了一番搜索找到了一些好的文章, 打算自己总结一下, 相关文章都放在了参考处. 2. 原理探讨 通过《“常数变易法"的探讨》文章知道我们现在使用的常数变易法只是结论, 而非推导过程. 该结论是拉格朗日十一年的研究成果. 因此在此介绍一些该结论得出的过程. 首先, 对于求解一阶线性微分方程最先想到的方法就是"分离常量”, 于是首先对(1)进行移项操作得: $$ \mathrm{d}y=[Q(x)-P(x)y]\mathrm{d}x $$ 观察怎样都无法将y单独移动到左边, 因此分离常量的方法不可以求解此方程. 于是想到使用$u=\frac{y}{x}$的方法进行求解得到: $$ u\prime{}x+u(1+P(x)x)=Q(x) $$ ...